VECTORES Y SUMA DE VECTORES

Vectores y suma de vectores

Algunas cantidades físicas, como tiempo, temperatura, masa y densidad se pueden describir completamente con un número y una unidad. No obstante, en física muchas otras cantidades importantes están asociadas con una dirección y no pueden describirse con un solo número. 

Un ejemplo sencillo es el movimiento de un avión: para describirlo plenamente, debemos indicar no sólo qué tan rápidamente se mueve, sino también hacia dónde. Para ir de Chicago a Nueva York, un avión debe volar al este, no al sur. 

La rapidez del avión combinada con su dirección constituye una cantidad llamada velocidad. Otro ejemplo es la fuerza, que en física es un empuje o tirón aplicado a un cuerpo. 

Para describir plenamente una fuerza hay que indicar no sólo su intensidad, sino también en qué dirección tira o empuja.

Cuando una cantidad física se describe con un solo número, decimos que es una cantidad escalar. En cambio, una cantidad vectorial tiene tanto una magnitud (el "qué tanto") como una dirección en el espacio. Los cálculos que combinan cantidades escalares usan las operaciones aritméticas ordinarias. Por ejemplo, 6 kg 1 3 kg = 9 kg, o 4 X 2 s = 8 s. 

No obstante, combinar vectores requiere un conjunto de operaciones diferente.

Para entender mejor los vectores y su combinación, comencemos con la cantidad vectorial más sencilla, el desplazamiento, que es simplemente un cambio en la posición de un punto. (El punto podría representar una partícula o un cuerpo pequeño.)

En la figura 1.9a representamos el cambio de posición del punto P₁ al punto P₂ con una línea que va de P₁ a P₂, con una punta de flecha en P₂ para indicar la dirección. El desplazamiento es una cantidad vectorial porque debemos decir no sólo cuánto se mueve la partícula, sino también hacia dónde. Caminar 3 km al norte desde nuestra casa no nos lleva al mismo sitio que caminar 3 km al sureste; ambos desplazamientos tienen la misma magnitud, pero diferente dirección.

Frecuentemente representamos una cantidad vectorial como el desplazamiento con una sola letra, como A en la figura 1.9a. En este libro siempre simbolizaremos los vectores con letras negritas y cursivas con una flecha arriba, como recordatorio de que las cantidades vectoriales tienen propiedades diferentes que las cantidades escalares; la flecha nos recuerda que los vectores tienen dirección. Los símbolos ma­nuscritos de los vectores suelen subrayarse o escribirse con una flecha arriba (figura 1.9a). Siempre escriba los símbolos vectoriales con una flecha arriba. Si no distingue entre cantidades vectoriales y escalares en su notación, probablemente tampoco lo hará en su mente, y se confundirá.

Desplazamiento como una cantidadvectorial. Un desplazamiento es siempre un segmento recto dirigido desde el punto inicial hasta el punto final, aunque la trayectoria sea curva.

Al dibujar un vector, siempre trazamos una línea con punta de flecha. La longitud de la línea indica la magnitud del vector, y su dirección es la del vector. El desplazamiento siempre es un segmento recto dirigido del punto inicial al punto final, aunque la trayectoria real seguida por la partícula sea curva. En la figura 1.9b, la partícula sigue el camino curvo de P₁ a P₂, pero el desplazamiento sigue siendo el vector A. Observe que el desplazamiento no se relaciona directamente con la distancia total recorrida. Si la partícula siguiera a P₂ y volviera a P₁, el desplazamiento total sería cero (figura 1.9c). Si dos vectores tienen la misma dirección, son paralelos; si tienen la misma magnitud y la misma dirección, son iguales, sea cual fuere su ubicación en el espacio. El vector A 'de P3 a P4 en la figura 1.10 tiene las mismas longitud y dirección que el vector A de P1 a P2. Ambos desplazamientos son iguales, aunque parten de puntos distintos. Escribimos esto como A' = A en la figura 1.10, usando un signo igual en negritas para resaltar que la igualdad de dos cantidades vectoriales no es lo mismo que la igualdad de dos cantidades escalares. Dos vectores sólo son iguales si tienen la misma magnitud y la misma dirección.

Sin embargo, el vector B de la figura 1.10 no es igual a A porque su dirección es opuesta. Definimos el negativo de un vector como un vector con la misma magnitud que el original pero con la dirección opuesta. El negativo de A se denota con —A, y usamos un signo menos en negrita para destacar la índole vectorial de las cantidades. Si A es 87 m al sur, entonces —A es 87 m al norte. Así, la relación entre A y B en la figura 1.10 puede escribirse como A =—B o B =—A. Si dos vectores A y B tienen direcciones opuestas, sean sus magnitudes iguales o no, decimos que son antiparalelos.

Frecuentemente representamos la magnitud de una cantidad vectorial (su longitud, en el caso de un vector de desplazamiento) con la misma letra que usamos para el vector pero en cursiva normal sin la flecha arriba. Una notación alterna es el símbolo vectorial encerrado entre barras verticales:

Por definición, la magnitud de una cantidad vectorial es una cantidad escalar (un número) y siempre es positiva. Cabe señalar también que un vector nun_Sca puede ser igual a un escalar porque son cantidades de tipo distinto. ¡La expresión "A = 6 m" es tan absurda como "2 naranjas = 3 manzanas" o "6 lb = 7 km"!

Al dibujar diagramas con vectores, normalmente usamos una escala similar a la escala de los mapas. Por ejemplo, un desplazamiento de 5 km podría representarse con un vector de 1 cm en un diagrama; y un desplazamiento de 10 km, con un vector de 2 cm. En un diagrama de vectores de velocidad, podríamos usar una escala para representar un vector de 1 cm como una velocidad cuya magnitud es de 5 metros por segundo (5 m/s). Entonces, una velocidad de 20 m/s se representaría con un vector de 4 cm, con la dirección adecuada.

Suma de vectores

Suponga que una partícula sufre un desplazamiento A, seguido por un segundo desplazamiento B (figura 1.11a). El resultado final es el mismo que si la partícula hubiera partido del mismo punto y sufrido un solo desplazamiento C, como se muestra. Llamamos a C suma vectorial, o resultante, de los desplazamientos A y B. Expresamos esta relación simbólicamente Como

Tres formas de sumar dos vectores. Como se muestra en b), el orden no importa en la suma de vectores, la cual es conmutativa.

El signo más en negritas destaca que sumar dos cantidades vectoriales requiere un proceso geométrico y no es lo mismo que sumar dos cantidades escalares como 2 1 3 = 5. Al sumar vectores, por lo regular colocamos la cola del segundo vector en la cabeza, o punta, del primer vector (figuea 1.11a).

Si efectuamos los desplazamientos A y B en orden inverso, primero B y luego A el resultado será el mismo (figura 1.11b). Entonces,

Esto indica que el orden de los términos en una suma de vectores no importa. Dicho de otro modo, la suma de vectores sigue la ley conmutativa.

La figura 1.11c muestra otra representación de la suma vectorial: si dibujamos los vectores A y B con sus coles en el mismo punto, el vector C es la diagonal de un para-lelogramo construido con A y B como dos lados adyacentes.




CUIDADO 3 Magnitudes en la suma de vectores Es un error común suponer que si C = A + B, entonces la magnitud C debería ser igual a la magnitud A más la magnitud B. En general, tal conclusión es errónea; para los vectores de la figura 1.11 es evidente que C < A + B. La magnitud de A + B depende de las magnitudes de A y B y también del ángulo que forman A y B. Sólo en el caso especial en A y B sean paralelos, la magnitud de C = A + B es igual a la suma de las magnitudes de A y B (figura 1.12a). En cambio, cuando los vectore s son antiparalelos (figura 1.12b) la magnitud de C es la diferencia de las magnitudes de A y B. Si usted se cuida de distinguir entre cantidades escalares y vectoriales, evitará cometer errores respecto a la magnitud de una suma vectorial.

Si necesitamos sumar más de dos vectores, podemos sumar primero dos cualesquiera, sumar la resultante al tercero, etcétera. La figura 1.13a muestra tres vectores A, B y C. En la figura 1.13b, se suman primero A y B para dar la suma vectorial D; luego se suman los vectores C y D de la misma forma para obtener la resultante R:

R = (A +B) + C = D + C  Como alternativa, podemo s sumar primero B y C para obtener el vector E (figura 1.13c), y luego sumar A y E para obtener R:    R = A +(B + C) = A + E